LA GEOMETRÍA ANALÍTICA DE DESCARTES Y FERMAT
Los griegos desarrollaron la Geometría en el siglo III a.C., pero pasaron muchos años para que el Álgebra se desarrollara y pudiera ser utilizada para representar lugares geométricos.
Dos
franceses en el siglo XVII los matemáticos Pierre Fermat (1601-1665) y René Descartes
(1596-1650), de forma independiente empezaron a utilizar el Álgebra como se
utiliza en Geometría Analítica. La
intención de ambos, fue aplicar los métodos del álgebra a la solución de los
problemas en geometría. Descartes establece que:
“Si
entonces, deseamos resolver algún problema, primero suponemos que ya disponemos
del problema y damos nombre a todas las líneas que parecen ser necesarias para
su construcción, tanto a aquellas que son desconocidas como a las conocidas.
Entonces, sin hacer distinción entre las líneas conocidas y desconocidas
debemos desembrollar la dificultad en cualquier manera que muestre más
naturalmente las relaciones entre esas líneas, hasta que nos sea posible
expresar una cantidad de dos formas. Esto constituirá una ecuación, ya que los
términos de una de esas dos expresiones es en conjunto igual a los términos de
la otra.”
Descartes empezaba
con una curva y derivaba su ecuación algebraica, Sin embargo Fermat comenzaba con una
ecuación algebraica y derivaba de ella las propiedades geométricas de la curva
correspondiente. Los trabajos de Descartes y Fermat tomaron juntos, los dos
aspectos complementarios de la geometría analítica uno estudiando ecuaciones a través del significado
de las curvas y otro estudiando
curvas definidas por ecuaciones.
La
idea central de la geometría analítica es la correspondencia entre una ecuación
f(x,y) = 0 y el
lugar que ocupan todos
aquellos puntos con
coordenadas (x, y) en
dos ejes fijos perpendiculares
que satisfacen la ecuación. Pero, ni Descartes ni Fermat usaron dos ejes de coordenadas como los que usamos actualmente.
Lo más cercano a ello viene indicado en el principio guía de Fermat:
“Cuando
encontremos dos cantidades conocidas en una ecuación, tenemos un lugar
geométrico, la extremidad de una de éstas describe una línea, recta o curva.”
Pierre de Fermat
Pierre de Fermat
(Beaumont, Francia, 1601 - Castres, id., 1665) Matemático francés.
Continuador de la obra de Diofanto en el campo de los números enteros y
cofundador del estudio matemático de la probabilidad, junto con Pascal, y de la
geometría analítica, junto con Descartes, Pierre de Fermat mantuvo
correspondencia con los grandes científicos de su época y gozó ya en vida de
gran estima e inmensa reputación, si bien su natural modestia y su modo de
trabajar, en exceso diletante, perjudicó la divulgación de sus aportaciones.
René Descartes
(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático
francés. Después del esplendor de la antigua filosofía griega y del apogeo y
crisis de la escolástica en la Europa medieval, los nuevos aires del
Renacimiento y la revolución científica que lo acompañó darían lugar, en el
siglo XVII, al nacimiento de la filosofía moderna.
El primero de los ismos filosóficos de la modernidad fue el
racionalismo; Descartes, su iniciador, se propuso hacer tabla rasa de la
tradición y construir un nuevo edificio sobre la base de la razón y con la
eficaz metodología de las matemáticas. Su «duda metódica» no cuestionó a Dios,
sino todo lo contrario; sin embargo, al igual que Galileo, hubo de sufrir la
persecución a causa de sus ideas.
